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微分差分代數中的有效性與可定義性問題研究(李偉)
2021-01-05 | 编辑:

  有效性(Effectiveness)與可定義性(Definability)分別是計算複雜性與數理邏輯研究中的基本問題。有效性研究旨在給出相應問題的一致上界,保證算法設計的終止性,並在分析算法的計算複雜度中有重要應用。可定義性研究可被應用于解決一些困難的存在性問題,例如微分周簇的存在性、微分Galois理論中的逆問題等。2020年度我們在計算微分差分代数中的有效性與可定義性问题研究中取得如下重要進展:  

  (1) 解決了有效微分-差分Hilbert零點定理  

  相容性判定是方程求解的基本問題。對于代數方程組,Hilbert零點定理断言方程组无解当且仅当1可以表示成這些方程的多項式系數線性組合。有效Hilbert零點定理(Effective Nullstellensatz)問題即是要給出表達式中待定多項式系數的一致次數上界(僅依賴于系統的次數與變量個數),將代數方程組的相容性判定問題轉化爲線性方程組的求解問題。該問題的最優上界分別由Brownawell (Ann.Math., 1987), Kollar (J. AMS,1988), Jelonek (Invent.Math., 2005)等給出。對于代數微分或差分方程組,方程組在微分域或差分域中無解當且僅當其若幹階算子延拓所得代數方程組無解。有效微分(差分)Hilbert零點定理则是要给出算子延拓阶数的一致上界,将微分(差分)方程組的相容性判定問題歸約到代數方程組的相容性判定問題。目前,Gustavson(Adv. Math.,2016), Leon-Sanchez(J. Algebra,2018)給出了有效微分Hilbert零點定理的一致上界;Ovchinnikov(J.EMS, 2020)給出了有效差分 Hilbert 零點定理的一个由递归函数定义的上界   

  代數微分-差分方程(即時滯微分方程)及其序列解在生物學、人口動力學等領域有廣泛應用。一個重要的未解決問題是微分-差分方程的相容性判定問題:是否存在一個算法來判定任意給定的微分-差分方程組有無序列解?2007年,數理邏輯專家Hrushovski (國際數學家大會1小時報告人)-Point證明了序列環作爲微分-差分环的理论是不可判定的,由于序列环不具有量词可消去的性质,通过逻辑方法不能导出相容性判定问题的算法。我们近期的工作解決了有效微分-差分Hilbert零點定理问题:给出了一个仅依赖于系统的阶数、次数以及变元个数的一致可计算上界 B, 證明了任意給定的微分-差分混合方程系統 P 有序列解當且僅當由 P P 的不超過 B 階的算子延拓方程構成的代數方程組有解;另外,證明了複系數的微分-差分方程系統存在序列解當且僅當該系統在亞純函數的芽環中有解。該項成果通過代數方法給出了微分-差分方程组相容性判定问题的一个有效算法。相关論文[1]發表在美國數學會會刊 Trans. Amer. Math. Soc..  

  (2) 證明了微分維數多項式的可定義性   

  在微分閉域的模型論研究中,微分指標()是否具有可定義性(definable in families)是微分代數學家與模型論專家的研究熱點。例如, PillayNagloo證明了Morley秩、Lascar秩與微分Krull維數都不具有可定義性;而微分簇(即代數微分方程组的解集)的不可约性是否具有可定義性与微分代数中经典的Ritt公開問題等價。微分維數多項式,也稱Kolchin多項式,是微分簇的一個非常重要的雙有理不變量。在常微分情形,Freitag(2017)證明了微分维数与阶数的可定义性,从而證明了常微分情形微分维数多项式的可定义性。我们近期的工作给出了Hilbert-Kolchin正则度的有效上界,證明了偏微分簇的微分维数多项式具有可定义性。具体来说,对于任意的一族含参微分簇,考虑微分维数多项式等于某个整值多项式的微分簇的集合,我们證明了相应参数集是一个微分可构造集,并證明了微分簇的弱不可约性也具有可定义性。相关論文[2]發表在 Proc. Amer. Math. Soc..   

  (3) 發展了偏微分方程的generic相交理論與偏微分周形式理論  

  周形式是代數幾何的基本概念,被用于超越數論、消去理論等領域取得了一些深刻結果。周形式理論是由周炜良與van der Warden1937年建立的。通過周形式,周给出了代数簇的周坐标表示;并證明了所有具有固定维数与次数的代数闭链的周坐标的集合是高维射影空间中的一个代数簇,称为周簇。周簇是代数簇的一类非常重要的模空间.  

  微分代數幾何的基本研究對象是微分簇(包括常微分簇與偏微分簇)。研究微分簇的坐標表示,發展微分周形式理論以及微分簇的模空間理論,是推動微分代數幾何發展的重要研究問題。在常微分情形,Gao(2013)證明了generic微分相交定理,以此为基础,建立了常微分簇的微分周形式理论,證明了一类微分闭链的微分周簇的存在性;Freitag(2017)应用模型论證明了一般情形微分周簇的存在性。偏微分情形的微分周形式理论一直未得到发展,其本质困难在于:在偏微分情形,余维数为1的偏微分簇可能不是一個超曲面的主分支。我們近期發展了偏微分方程的generic相交理论,證明了拟-generic偏微分相交定理,即一個微分維數大于1的不可約偏微分簇V與一個階數爲s的擬-generic偏微分超曲面的交是一個不可約偏微分簇,其微分維數多項式爲;給出了偏微分周形式存在的充要條件,對于微分維數多項式爲(d+1)的偏微分簇定义了偏微分周形式,證明了偏微分周形式的基本性质,特别引入了偏微分周坐标与偏微分次数的概念;并应用可定义性研究證明了一类偏微分周簇的存在性,即偏微分周坐标满足微分方程。相关論文[3]發表在Communications in Algebra.  

  (4) 微分曲線的有理參數化  

  代數曲線的有理參數化是計算代數幾何的一個核心研究問題,目前理論與算法已經非常成熟,並在計算機輔助幾何設計、生物模型、糾錯碼等領域具有廣泛應用。微分簇的有理參數化問題是微分代數幾何領域的重要問題。作爲零維一階情形Poincare問題的推廣,該問題對揭示微分曲線的雙有理等價分類具有重要意義。對于一維空間中的零維微分簇,Feng-Gao(2006)的工作首次給出了單變量常微分方程存在有理通解的充要條件,並在一階自治情形給出了計算有理通解的多項式算法,是研究微分有理參數化問題的開端;Winkler等陸續將該方法擴展到研究一階非自治含參常微分方程、高階常微分方程以及偏微分方程的有理通解。但是,對于正維數的微分簇,如微分曲線,相應的微分有理參數化問題尚未得到研究。  

  我们研究了微分曲線的有理參數化问题,取得如下进展: a)对微分有理曲线引入了恰当有理参数化表示,研究了恰当微分有理参数化的基本性质,特别地,给出了恰当参数化表示的阶数与隐式化方程的阶数之间的对应关系,證明了恰当参数化在M?bius变换下的唯一性;b) 对于线性微分有理参数化表示,基于微分结式,给出了判定其恰当化的充要条件,并给出了隐式化的高效算法;c) 对于线性微分曲线,给出了其存在微分有理参数表示的判定条件,即證明了线性微分曲线是有理的当且仅当相应线性微分算子的最大左公因子为1;基于线性微分算子的扩展欧几里德算法,设计了一个高效算法用于判定线性微分曲线是否可有理参数化,并计算微分有理曲线的恰当参数化表示。相关論文[4]被J. Symb. Comput.接收并在线发表。 

  [1]. W. Li, A. Ovchinnikov, G. Pogudin, and T. Scanlon. Elimination of unknowns for systems of algebraic differential-difference equations. Trans. Amer. Math. Soc., electronically published on October 14, 2020. (https://doi.org/10.1090/tran/8219) 

  [2]. J. Freitag, O. Leon-Sanchez, W. Li. Effective definability of Kolchin polynomials. Proc. Amer. Math. Soc., 148(4), 1455–1466, 2020. 

  [3]. W. Li. Partial differential Chow forms and a type of partial differential Chow varieties. Communications in Algebra, 48(8), 3342-3371, 2020. 

  [4]. L. Fu and W. Li. Differential unirational curves and differential rational parametric representations. Accepted for publication by Journal of Symbolic Computation, 2020. (https://doi.org/10.1016/j.jsc.2020.08.008.) 

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