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多變元冪級數的算術理論研究(陳紹示)
2021-11-15 | 编辑:

  冪級數, 随处可见,在复分析、组合理论、代数几何等领域扮演着重要角色。在复分析中,多变元幂级数收敛域的几何结构开启了多复变研究的序幕。在组合理论中,序列的生成函数就是冪級數,其算术與代数性质可以揭示序列的内在结构。在代数几何中,幂级数被用于理解代数簇在奇点处的几何结构。 冪級數的算術理論始于FatouEisensteinPolyaSzego等人的工作,其中最著名的定理是Szego定理與Polya-Carlson定理。但是,這些經典的結果局限于單變元情形。從2016年開始,陳紹示與加拿大滑鐵盧大學Jason Bell教授開展了關于多變元冪級數的算術理論研究,並主要關注多變元微分有限冪級數的有理性問題。 

  微分有限冪級數是一類滿足線性微分方程的特殊函數,在經典分析,計數組合學,交換代數,代數數論中有廣泛的應用。這方面一個重要而經典的問題是微分有限冪級數滿足什麽條件是有理函數在原點處的泰勒展開,即有理性問題。2017年,陳紹示與Jason Bell證明了系數取自有限集合的多變元微分有限冪級數必然是有理函數的泰勒展開。該結果是多變元Szego型定理,將1996van der PoortenShparlinski的有理性定理從單變元推廣到了多變元。進一步,他們利用代數方法得到了多變元整系數微分有限冪級數的有理性定理,該結果是多變元Polya-Carlson型定理。在其博士論文中,虞天龍利用多複變中解析延拓理論給出了該有理性定理的一個複分析證明。加拿大組合學家M. Mishna教授在其最近的專著《Analytic Combinatorics: A Multidimensional Approach中專門介紹了這些工作。 

  2020年,陳紹示與合作者研究了系数取自有限生成群的幂级数的有理性问题。代数动力系统理论主要研究代数簇上的有理映射的迭代性质及其轨道分类。该理论的核心问题是Dynamical Mordell-Lang猜想,這是經典算術幾何中Mordell-Lang猜想的动力系统版本。陈绍示與合作者首先研究了由代数动力系统所定义的一类取值在有限生成群上的序列的结构,以此证明了微分有限幂级数的系数零化的指标集一定为有限条等差数列與一个Banach密度爲零的集合的並集。進一步,利用結構定理從代數動力系統角度證明了Bezivin定理:系數取自有限生成群的微分有限冪級數必然是有理函數在原點處的泰勒展開。這個新的證明爲進一步研究多變元微分有限冪級數的有理性問題提供了思路。 

    

  相關論文:  

  1.   Jason P. Bell, Shaoshi Chen, and Ehsaan Hossain. Rational Dynamical Systems, S-units, and D-finite Power Series.Algebra and Number Theory, 15(7): 1699–1728, 2021.

  2.   Jason P. Bell, Shaoshi Chen. Power Series with Coefficients from a Finite Set. Journal of Combinatorial Theory, Series A., 151: pp. 241–253, 2017.

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