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傳輸噪聲對某些偏微分方程的正則化作用(羅德軍)
2022-01-07 | 编辑:

  噪声的正则化(regularization by noise)是近年来随机分析领域的一个热门研究方向,在最新的数学主题分类(MSC2020)中有了专门的编号:60H50。传输型乘法噪声(简称为传输噪声)驱动的随机偏微分方程最近受到了很多关注。直观上来说,传输噪声能促进流体的混合,使得系统的能量向高频部分转移,在那里能量会被更快地耗散掉,因而系统在宏观上表现出更强的耗散性;随着噪声强度的增大,系统的耗散性会增强。这种强耗散性能够抑制原来的确定型系统可能出现的奇点,使得方程对于大初值也存在全局的强解。

  在文章[1](見下面發表論文列表)中,羅德軍與合作者應用上述想法研究了環面上傳輸噪聲驅動的、渦度形式的隨機三維Navier-Stokes方程;對于任意給定的大初值,他們證明了當噪聲強度足夠大時,方程的強解以大概率全局存在。羅德軍等在[2]中進一步證明了類似的結論對更一般的非線性方程也成立,該結論可以應用到Fisher-KPP生物模型,Keller-Segel趨化模型等。

  另外,羅德軍在[3]中考慮了傳輸噪聲對沒有粘性的二維Boussinesq系統的擾動,在噪聲趨于高頻的尺度極限下,證明了該隨機方程組弱收斂到帶有粘性的確定型系統,這爲進一步研究傳輸噪聲對于增強Boussinesq系統耗散性的作用打下了基礎。

  文章[1]发表在《Probability Theory and Related Fields》,这是概率论领域最好的两个杂志之一。捷克科学院数学所的E. Feireisl教授与合作者在近期的两篇文章中引用了罗德军等人的这项工作;他是2002年ICM的45分钟报告人,2018年Fields奖委员会的成员。在今年初的预印本(arXiv:2101.08250)中,Feireisl教授等说:“In [20], it was even proved that a transport noise of Stratonovich type provides regularization of the incompressible Navier–Stokes system in vorticity form.”在最近的预印本(arXiv:2112.05743)中,他们说:“A first result for the incompressible Navier–Stokes equations has been recently established in the remarkable work [20].”

  文章[2]发表在《Communications in Partial Differential Equations》。美国麻省理工学院的G. Staffilani教授与合作者引用了罗德军等人的这篇文章;她于2014年当选美国艺术与科学院院士,2021年当选美国国家科学院院士。她们在近期的预印本(arXiv:2109.09892)里说:“Concerning equations of the form (1.1), Flandoli et al. [FGL21] have shown that blow-up is delayed in a 3D version of (1.1) ……”

 

 

1. Franco Flandoli, Dejun Luo. High mode transport noise improves vorticity blow-up control in 3D Navier-Stokes equations. Probability Theory and Related Fields 180 (2021), no. 1-2, 309-363. 

2.Franco Flandoli, Lucio Galeati, Dejun Luo. Delayed blow-up by transport noise. Communications in Partial Differential Equations 46 (2021), no. 9, 1757-1788. 

3.Dejun Luo. Convergence of stochastic 2D inviscid Boussinesq equations with transport noise to a deterministic viscous system. Nonlinearity 34 (2021), 8311-8330. 

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